이항분포의 정규근사

1. 이항분포의 정규근사

   이항분포는 성공확률이 p인 베르누이 시행을 n번 반복한 경우 성공횟수가 가지는 확률분포

   이항분포의 특징은 n이 증가함에 따라 분포의 형태가 점차 대칭에 가까워지고 종모양을 이루게 됨 

이와같은 경향은 n이 커짐에 따라 더욱 확실하게 드러남, 실제로 이항분포는 n이 증가함에 따라 근사적으로 정규분포를 따르게 됨. 이때 정규분포의 평균과 분산은 이항분포에서와 일치하여야 하므로 다음과 같음

이항분포의 정규근사

확률변수 X가 성공 횟수를 나타내는 이산형 확률변수이고 X~ Bin(n,p) 일 때, np나 n(1-p)가 모두 충분히 클 경우( 보통 10 이상)에 확률변수 X는 근사적으로 다음의 정규분포를 따르게 된다

 

1) 이항분포의 정규근사확률을 활용한 R프로그램

확률변수 X가 n=150, p=0.6의 이항분포를 따른다고 하자. 이러한 확률변수 X가 82이상 102 미만일 확률은?

pbinom 함수를 이용하여 이항분포에서 직접적으로 계산한 확률(0.8945357)과 pnorm함수를 이용한 정규근사 확률(0.8940697)이 거의 비슷한 값을 가짐을 확인 할 수 있다.

> n=150

> p=0.6

> pbinom(101,n,p) - pbinom(81,n,p)

[1] 0.8945357

> mu = n*p

> sigma=sqrt(n*p*(1-p))

> pnorm(101.5,mu,sigma) - pnorm(81.5,mu,sigma)

[1] 0.8940697